Superficie y Volumen, las dos caras de una misma moneda

Superficie

Una superficie es de hecho un conjunto de puntos de un espacio euclídeo que forma un espacio topológico bidimensional que localmente, es decir, visto de cerca se parece al espacio euclídeo bidimensional. Así alrededor de cada punto de una superficie esta se aproxima bien por el plano tangente a la superficie en dicho punto.

Una definición tradicional de superficie que alude a términos intuitivos pero con la que resulta fácil trabajar desde un punto de vista matemático fue la dada por Euclides:

Una superficie es aquello que sólo tiene longitud y anchura.

 

Tipos

Superficie reglada

Una superficie reglada, en geometría, es la generada por una recta, denominada generatriz, al desplazarse sobre una curva o varias, denominadas directrices. En función de las características y condiciones particulares de estos elementos, recibe diversos nombres.

Superficies regladas son:

-El plano

-Las superficies de curvatura simple:

·         superficie cilíndrica

·         superficie cilíndrica de revolución

·         superficie cilíndrica de no revolución

·         superficie cónica

·         superficie cónica de revolución

·         superficie cónica de no revolución

-Las superficies alabeadas:

• cilindroide
• conoide
• superficie doblemente reglada :
• paraboloide hiperbólico
• hiperboloide de revolución

 Superficies desarrollables, regladas y alabeadas

Algunas superficies tienen propiedades interesantes que son expresables en términos de su curvatura, estos tipos son las superficies desarrollables, regladas y alabeadas:

• Intuitivamente una superficie es desarrollable si puede fabricarse a partir de un plano euclídeo mediante "doblado". El cono y el cilindro son desarrollables, lo cual se manifiesta en que se pueden construir modelos apropiados a partir de una hoja de papel o cartulina plana. Formalmente dada una superficie desarrollable existe una isometría entre la superficie y el plano euclídeo. Una condición necesaria y suficiente para que una superficie se desarrollable, se desprende del theorema egregium de Gauss, es que la curvatura gaussiana de dicha superficie sea idénticamente nula.
• Una superfice reglada cuando el plano tangente para cada punto de la misma contiene una línea recta completamente contenida sobre la superficie. Una condición necesaria es que la segunda forma fundamental sea en ese punto una forma cuadrática indefinida y por tanto la curvatura gaussiana es negativa.
• Una superficie alabeada es una superficie reglada y no-desarrollable.

 
Superficie de curvatura simple

Superficie reglada en la cual cada dos posiciones adyacentes de la generatriz (g) son coplanares (son paralelas o se cortan).

Las superficies de curvatura simple son superficies desarrollables, es decir, pueden extenderse sobre un plano. Ejemplos de estas superficies son:

• superficie cilíndrica: superficie generada por el movimiento de una generatriz (g) que se mantiene en contacto con una directriz (d) curva, siendo además paralelas todas las posiciones de la generatriz; se clasifican en:
• superficie cilíndrica de revolución: superficie cilíndrica en la cual todas las posiciones de la generatriz (g) equidistan de un eje (e), paralelo a ella,
• superficie cilíndrica de no-revolución: superficie cilíndrica en la cual no es posible definir un eje (e) que equidiste de todas las posiciones de la generatriz (g),
• superficie cónica: superficie reglada generada por el movimiento de una generatriz (g), manteniéndose en contacto con una directriz (d) curva, teniendo, todas las posiciones de la generatriz (g), un punto común (V), denominado vértice; se clasifican en:
• superficie cónica de revolución: superficie cónica en la cual, todas las posiciones de la generatriz (g), forman el mismo ángulo con un eje (e), que pasa por el vértice (V),
• superficie cónica de no-revolución: superficie cónica en la cual no es posible definir un eje (e), que forme el mismo ángulo con todas las posiciones de la generatriz.

 

Superficie de curvatura doble

Son superficies generadas por el movimiento de una generatriz (g) curva. Estas superficies no contienen líneas rectas y por lo tanto no son desarrollables. Entre ellas son muy conocidas las cuádricas, las cuales son superficies generadas por la rotación de una curva cónica alrededor de uno de sus ejes. Las cuádricas son:

• esfera: la generatriz (g) es una circunferencia,
• elipsoide: la generatriz (g) es una elipse,
• paraboloide: la generatriz (g) es una parábola,
• hiperboloide: La generatriz (g) es una hipérbola.

 
Volumen
El volumen es una magnitud escalar definida como la extensión en tres dimensiones de una región del espacio. Es una magnitud derivada de la longitud, ya que se halla multiplicando la longitud, el ancho y la altura. Desde un punto de vista físico, los cuerpos materiales ocupan un volumen por el hecho de ser extensos, fenómeno que se debe al principio de exclusión de Pauli.
La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico. Para medir la capacidad se utiliza el litro. Por razones históricas, existen unidades separadas para ambas, sin embargo están relacionadas por la equivalencia entre el litro y el decímetro cúbico:

1 dm³ = 1 litro = 0,001 m³ = 1000 cm³.

Solido: El volumen hueco es el espacio vacío delimitado por una superficie.

 
Hueco: El volumen solido es el espacio que ocupa un cuerpo tridimensional delimitado por una superficie.

 

Volumen de curvatura simple

Es aquel que tiene una superficie reglada en la cual cada dos posiciones adyacentes de la generatriz (g) son coplanares (son paralelas o se cortan).

Las superficies de curvatura simple son superficies desarrollables, es decir, pueden extenderse sobre un plano.

Volumen de  superficie de curvatura doble

Es aquel que tiene una superficie generada por el movimiento de una generatriz (g) curva. Estas superficies no contienen líneas rectas y por lo tanto no son desarrollables

Volumen de revolución

Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

• esfera: la generatriz es una circunferencia,
• elipsoide: la generatriz es una elipse,
• paraboloide: la generatriz es una parábola,
• hiperboloide: la generatriz es una hipérbola,

 

Volumen de extrusión

La extrusión es un proceso utilizado para crear objetos con sección transversal definida y fija. El material se empuja o se extrae a través de un troquel de una sección transversal deseada. Las dos ventajas principales de este proceso por encima de procesos manufacturados son la habilidad para crear secciones transversales muy complejas con materiales que son quebradizos, porque el material solamente encuentra fuerzas de compresión y de cizallamiento. También las piezas finales se forman con una terminación superficial excelente.